Inversa y transpuesta con Python

Dos operaciones sobre una matriz cuadrada admiten una lectura inmediata: la inversa deshace la transformación que la matriz aplica, y la transpuesta intercambia el papel de filas y columnas. La primera plantea una cuestión de existencia que un solo número resuelve; la segunda genera la clase de matrices sobre la que descansa buena parte del aprendizaje automático.

La matriz inversa

Una matriz $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ es invertible si existe $A^{-1}$ tal que

A A^{-1} = A^{-1} A = I_n

La inversa, cuando existe, es única, y representa la transformación que devuelve cada vector a su posición de partida.

import numpy as np

A = np.array([[1., 2.],
              [3., 4.]])

Ainv = np.linalg.inv(A)
np.allclose(A @ Ainv, np.eye(2))    # True

Existencia: el determinante

El criterio es un único escalar. La matriz $A$ es invertible si y solo si $\det A \neq 0$ , condición equivalente a que sus columnas sean linealmente independientes.

np.linalg.det(A)
# -2.0000000000000004

El valor exacto es $1\cdot4 - 2\cdot3 = -2$ . La discrepancia en el decimoquinto dígito es aritmética de coma flotante, no un error de cálculo: los números reales se representan con precisión finita y las operaciones acumulan redondeo.

De ahí una regla que conviene aplicar sin excepciones: el determinante no se compara con cero mediante ==.

np.linalg.det(A) == 0        # False, pero por la razón equivocada
np.isclose(np.linalg.det(A), 0)   # la comparación correcta

Cuando la matriz es exactamente singular, inv no devuelve un resultado aproximado sino un error:

S = np.array([[1., 2.],
              [2., 4.]])       # fila 2 = 2 · fila 1

np.linalg.inv(S)
# LinAlgError: Singular matrix

El número de condición

El caso singular es el benigno, porque falla de forma visible. El problemático es la matriz casi singular: inv devuelve un resultado, el programa continúa y las cifras carecen de significado.

La magnitud que lo cuantifica es el número de condición $\kappa(A) = \lVert A \rVert \cdot \lVert A^{-1} \rVert$ . En la norma $2$ es el cociente entre el mayor y el menor valor singular, y acota la propagación del error relativo al resolver $A\vec{x} = \vec{b}$ :

\frac{\lVert \Delta\vec{x} \rVert}{\lVert \vec{x} \rVert} \;\le\; \kappa(A)\,\frac{\lVert \Delta\vec{b} \rVert}{\lVert \vec{b} \rVert}

En la figura, el parámetro $\varepsilon$ separa la segunda fila de un múltiplo exacto de la primera. El término independiente se perturba siempre en la misma cantidad, y lo que se observa es cuánto de esa perturbación llega a la solución.

det(A): 0.500
cond(A): 58.5
cambio en b: 0.015 %
cambio en x: 0.15 %

amplificación del error×10

ε separa la segunda fila del doble de la primera. En ε = 0 la matriz es singular.

ε0.50

Con $\varepsilon$ próximo a $1$ la perturbación llega atenuada. Al reducir $\varepsilon$ hacia cero, una variación de milésimas en $\vec{b}$ produce variaciones de orden uno en $\vec{x}$ . El sistema sigue teniendo solución única en sentido matemático, pero la solución calculada deja de ser informativa.

np.linalg.cond(A)     # ~14.9 para la matriz de arriba

Como orden de magnitud: si $\kappa(A) \approx 10^k$ , cabe esperar la pérdida de unas $k$ cifras significativas. En doble precisión se dispone de unas 16, de modo que $\kappa \approx 10^{12}$ deja apenas cuatro cifras fiables.

La recomendación de la lección sobre sistemas lineales —emplear solve y no inv— se apoya en esto: solve evita construir la inversa y con ello una fuente adicional de amplificación del error.

La transpuesta

La transpuesta $A^\top \in \mathbb{R}^{n\times m}$ de una matriz $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ se define por $(A^\top)_{ij} = a_{ji}$ : refleja la matriz respecto de su diagonal principal, que permanece fija.

A 2×3

123456

→

Aᵀ 3×2

142536

a₁₁ = 1 → (Aᵀ)₁₁ = 1

La diagonal queda fija; el resto de entradas intercambia sus índices.

Paso 1 / 6

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

A.T
# array([[1, 4],
#        [2, 5],
#        [3, 6]])

En NumPy, .T devuelve una vista: no copia los datos, solo intercambia el orden en que se recorren. La operación es de coste constante, igual que reshape. De la definición se sigue $(A^\top)^\top = A$ .

La inversión del orden

Tanto la transposición como la inversión invierten el orden de los factores de un producto:

(AB)^\top = B^\top A^\top, \qquad (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

La razón es la misma en ambos casos. Si $AB$ significa aplicar $B$ y después $A$ , deshacer esa composición exige deshacer primero lo último que se hizo. La comprobación numérica es inmediata:

P = np.random.randn(2, 3)
Q = np.random.randn(3, 2)

np.allclose((P @ Q).T, Q.T @ P.T)     # True

Las dimensiones lo confirman por sí solas: $A^\top B^\top$ no está definido en general, mientras que $B^\top A^\top$ siempre lo está.

Matrices simétricas

Una matriz cuadrada es simétrica cuando $A = A^\top$ . La construcción que las produce de forma sistemática es el producto de una matriz por su transpuesta:

(A^\top A)^\top = A^\top (A^\top)^\top = A^\top A

El resultado es simétrico cualquiera que sea $A$ , incluso rectangular. Para $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ , el producto $A^\top A$ es de orden $n\times n$ .

A = np.random.randn(4, 3)
G = A.T @ A                  # 3×3

np.allclose(G, G.T)          # True

Además de simétrica, $A^\top A$ es semidefinida positiva: para todo $\vec{v}$ se cumple $\vec{v}^\top A^\top A \vec{v} = \lVert A\vec{v} \rVert^2 \ge 0$ . Esa propiedad garantiza que sus valores propios son reales y no negativos.

La clase aparece por todas partes en aprendizaje automático, y siempre por la misma razón: procede de un producto de la forma $A^\top A$ .

Objeto	Construcción	Dónde aparece
Matriz de covarianza	$\tfrac{1}{n}X_c^\top X_c$	PCA, blanqueo de datos
Matriz de Gram o kernel	$XX^\top$	máquinas de vectores soporte, procesos gaussianos
Hessiana	$\nabla^2 f$	métodos de segundo orden, análisis de curvatura

El interés práctico de la simetría es que garantiza valores propios reales y una base ortogonal de vectores propios, lo que permite descomponer la matriz de forma estable. Sobre esa garantía se apoya el análisis de componentes principales.

Aplicación: las ecuaciones normales

La regresión lineal busca los pesos $\vec{w}$ que minimizan $\lVert A\vec{w} - \vec{b} \rVert^2$ , donde cada fila de $A$ es una observación. Anulando el gradiente se obtienen las ecuaciones normales:

A^\top A\,\vec{w} = A^\top \vec{b} \qquad\Longrightarrow\qquad \hat{\vec{w}} = (A^\top A)^{-1} A^\top \vec{b}

La expresión de la derecha es la forma habitual en los textos, y es la que no conviene trasladar al código. La matriz $A^\top A$ eleva al cuadrado el número de condición de $A$ , $\kappa(A^\top A) = \kappa(A)^2$ , de modo que un problema moderadamente mal condicionado se vuelve severo al formar ese producto. Sobre esa matriz, además, se invierte.

w = np.linalg.solve(A.T @ A, A.T @ b)        # aceptable
w = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)[0]     # preferible

lstsq resuelve el problema de mínimos cuadrados sin formar $A^\top A$ , empleando una factorización QR o la descomposición en valores singulares, y conserva el condicionamiento original.

La transpuesta reaparece en el entrenamiento de redes neuronales. Si la propagación hacia adelante de una capa es $Y = XW$ , el gradiente respecto de la entrada se propaga hacia atrás multiplicando por $W^\top$ :

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Y} W^\top

La transposición es lo que hace encajar las dimensiones: $\partial\mathcal{L}/\partial Y$ tiene la forma de $Y$ , y multiplicar por $W^\top$ la devuelve a la forma de $X$ . Cada paso de retropropagación es, en esencia, un producto por la transpuesta de los pesos.

Ejercicio. Para $A = \begin{bmatrix}1 & 2\\ 2 & 4+\varepsilon\end{bmatrix}$ , comprobar que $\det A = \varepsilon$ . Calcular np.linalg.cond(A) para $\varepsilon = 10^{-1}$ , $10^{-4}$ y $10^{-8}$ , y estimar en cada caso cuántas cifras significativas sobreviven en doble precisión.